Fonction minorée

Une fonction minorée est une fonction pour laquelle il existe une constante réelle \(m\) telle que pour tout \(x\) dans le domaine de la fonction, on ait \(f(x) \geq m\). Autrement dit, la fonction ne peut pas descendre en dessous de cette valeur minimale \(m\).

Définition

Une fonction minorée est une fonction mathématique qui prend des valeurs minimales sur un intervalle ou un ensemble de points donnés.

Notation

La fonction minorée d'une fonction f(x) sur un intervalle [a, b] est notée :

```
f_m(x) = min{f(x) | a ≤ x ≤ b}
```

Elle représente la plus petite valeur que f(x) peut prendre sur l'intervalle [a, b].

Propriétés

- La fonction minorée est toujours concave.
- Elle est continue sur n'importe quel intervalle où f(x) est continue.
- Elle est non décroissante.
- Elle est égale à f(x) au point où f(x) atteint son minimum sur [a, b].

Applications

Les fonctions minorées sont utiles dans de nombreuses applications, notamment :

- Recherche d'optimum : Trouver la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle donné.
- Optimisation : Minimiser une fonction sous contraintes.
- Analyse de données : Identifier les valeurs minimales dans un ensemble de données.

Exemple

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3 sur l'intervalle [0, 3]. La fonction minorée est :

```
f_m(x) = min{f(x) | 0 ≤ x ≤ 3}
```

Pour trouver le minimum de f(x) sur [0, 3], nous résolvons f'(x) = 0 :

```
f'(x) = 2x - 4 = 0
x = 2
```

Par conséquent, f(x) atteint son minimum en x = 2, et la fonction minorée est :

```
f_m(x) = f(2) = -1
```