Cours de 4eme portant sur le triangle, donner les explications bien détaillé accompagné des exemples et les propriétés tel que l'orthocentre médiatrice et bissectrice soient bien différencier

Le triangle est une figure géométrique composée de trois côtés et de trois angles. Il existe différentes propriétés et concepts liés aux triangles, tels que l'orthocentre, la médiatrice et la bissectrice.

1. L'orthocentre :
L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection des trois hauteurs du triangle. Une hauteur est une droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé. L'orthocentre peut se situer à l'intérieur, à l'extérieur ou sur un des côtés du triangle.

Exemple : Dans le triangle ABC ci-dessous, H est l'orthocentre car les droites AH, BH et CH sont les hauteurs du triangle.

```
B
/\
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A------------------C
```

2. La médiatrice :
La médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Dans un triangle, la médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle.

Exemple : Dans le triangle ABC ci-dessous, les droites d, e et f sont les médiatrices des côtés [AB], [BC] et [AC] respectivement. Elles sont concourantes en O, le centre du cercle circonscrit au triangle.

```
B
/\
/ \
/ \
/ \
/ O \
/ \
/ \
/ \
/ \
A------------------C
```

3. La bissectrice :
La bissectrice d'un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle, les trois bissectrices des angles sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Exemple : Dans le triangle ABC ci-dessous, les droites g, h et i sont les bissectrices des angles en A, B et C respectivement. Elles sont concourantes en I, le centre du cercle inscrit dans le triangle.

```
B
/\
/ \
/ \
/ I \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A------------------C
```

En résumé, l'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs du triangle, la médiatrice est la droite perpendiculaire à un côté et passant par son milieu, et la bissectrice est la droite partageant un angle en deux angles de même mesure. Ces concepts sont importants en géométrie pour étudier les propriétés des triangles.

Cours sur le triangle en 4ème

I. Rappels

Un triangle est un polygone à trois côtés.
- La longueur de chaque côté s'appelle une arête.
- Le point d'intersection de deux arêtes s'appelle un sommet.
- Les trois angles intérieurs du triangle sont appelés angles intérieurs.

II. Propriétés du triangle

1. Somme des angles intérieurs

La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180 degrés.

2. Propriétés des médianes

Une médiane est une droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
- Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point appelé centre de gravité.
- Le centre de gravité divise chaque médiane en deux segments de longueurs égales.

3. Propriétés des bissectrices

Une bissectrice est une droite qui divise un angle en deux angles égaux.
- Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point appelé incentre.
- L'incentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle, c'est-à-dire le plus grand cercle qui peut être inscrit dans le triangle.

4. Propriétés des hauteurs

Une hauteur est une droite perpendiculaire menée d'un sommet à la droite supportant le côté opposé.
- Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point appelé orthocentre.
- L'orthocentre est le point de concours des droites passant par les sommets du triangle et perpendiculaires aux côtés opposés.

III. Différenciation des propriétés

Médiatrice

- Une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et passant par son milieu.
- Elle divise le côté en deux segments égaux.

Bissectrice

- Une bissectrice est une droite qui divise un angle en deux angles égaux.
- Elle n'est pas forcément perpendiculaire à un côté.

Hauteur

- Une hauteur est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé.
- Elle n'est pas forcément perpendiculaire à une médiatrice ou à une bissectrice.

IV. Exemples

1. Médiane

Dans le triangle ABC, la médiane [AD] relie le sommet A au milieu D du côté BC.
- [AD] divise [BC] en deux segments égaux : [BD] = [DC].
- Le centre de gravité G se trouve à l'intersection des trois médianes : [AD], [BE] et [CF].

2. Bissectrice

Dans le triangle ABC, la bissectrice [BD] divise l'angle ABC en deux angles égaux : - [BD] n'est pas perpendiculaire à [AC].
- L'incentre I se trouve à l'intersection des trois bissectrices : [BD], [CE] et [AF].

3. Hauteur

Dans le triangle ABC, la hauteur [AH] est perpendiculaire à [BC] et passe par le sommet A.
- [AH] n'est pas perpendiculaire à [AD] ou [BD].
- L'orthocentre H se trouve à l'intersection des trois hauteurs : [AH], [BE] et [CF].