On considère le champ vectoriel donner par le vecteur v=(Ax+by)ex+(cx+fy)et et le contour fermé ABCD. Calculer la circulation de vecteur v sur ce contour et vérifier le théorème de stocks

Pour calculer la circulation de vecteur v sur le contour ABCD, on utilise la formule de la circulation d'un champ vectoriel :

C = ∮ v · dr

où dr est le vecteur tangent au contour ABCD.

Le contour ABCD est un rectangle, donc on peut le décomposer en quatre segments : AB, BC, CD et DA.

Pour le segment AB, dr = dx ex, donc la circulation sur ce segment est :

∫(Ax+by)dx = A∫xdx + B∫ydx = A(x2/2) + Byx |AB = A(x2/2) + By

Pour le segment BC, dr = dy ey, donc la circulation sur ce segment est :

∫(cx+fy)dy = C∫xdy + F∫ydy = Cxy + F(y2/2) |BC = Cxy + F(y2/2)

Pour le segment CD, dr = -dx ex, donc la circulation sur ce segment est :

∫-(Ax+by)dx = -A∫xdx - B∫ydx = -A(x2/2) - Byx |CD = -A(x2/2) - By

Pour le segment DA, dr = -dy ey, donc la circulation sur ce segment est :

∫-(cx+fy)dy = -C∫xdy - F∫ydy = -Cxy - F(y2/2) |DA = -Cxy - F(y2/2)

En ajoutant les circulations sur les quatre segments, on obtient la circulation totale sur le contour ABCD :

C = A(x2/2) + By + Cxy + F(y2/2) - A(x2/2) - By - Cxy - F(y2/2) = 0

La circulation de vecteur v sur le contour ABCD est donc nulle. Cela vérifie le théorème de Stokes, qui stipule que la circulation d'un champ vectoriel conservatif sur un contour fermé est nulle.

Circulation de v sur le contour ABCD

Le contour ABCD est un rectangle de dimensions a × b.

Sur le segment AB (de A à B), dr = dex et v = (-cx f)ex. Ainsi,
```
∮AB v ⋅ dr = ∫AB (-cx f) ⋅ dex = -∫AB cx f dx = -cfx^2 |A→B = -cfb^2
```

Sur le segment BC (de B à C), dr = d(b ex + a ey) et v = (Ax f)ex. Ainsi,
```
∮BC v ⋅ dr = ∫BC (Ax f) ⋅ d(b ex + a ey) = ∫BC Axf dx = Axfb |B→C = Afb^2
```

Sur le segment CD (de C à D), dr = -dex et v = (-cx f)ex. Ainsi,
```
∮CD v ⋅ dr = ∫CD (-cx f) ⋅ (-dex) = ∫CD cx f dx = cfx^2 |C→D = cf b^2
```

Sur le segment DA (de D à A), dr = -d(b ex + a ey) et v = (Ax f)ex. Ainsi,
```
∮DA v ⋅ dr = ∫DA (Ax f) ⋅ d(-b ex - a ey) = ∫DA Axf dx = Axfb |D→A = -Afb^2
```

Circulation totale

La circulation totale est la somme des circulations sur chaque segment :
```
∮ABCD v ⋅ dr = ∮AB v ⋅ dr + ∮BC v ⋅ dr + ∮CD v ⋅ dr + ∮DA v ⋅ dr = -cfb^2 + Afb^2 + cf b^2 - Afb^2 = 0
```

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes établit que la circulation d'un champ vectoriel sur un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers la surface délimitée par le contour.

Le rotationnel de v est donné par :
```
rot v = (∂z/∂y - ∂y/∂z)ex + (∂x/∂z - ∂z/∂x)ey + (∂y/∂x - ∂x/∂y)ez = 0
```

Comme le rotationnel est nul, le flux à travers toute surface délimitée par le contour ABCD est nul. Cela vérifie le théorème de Stokes.