Étudier la fonction f(x)= Ln(4-x)

Pour étudier la fonction f(x) = ln(4-x), nous allons d'abord déterminer son domaine de définition, puis calculer sa dérivée et étudier ses variations.

1. Domaine de définition :
La fonction ln(x) est définie pour x strictement positif. Ainsi, pour que f(x) = ln(4-x) soit définie, il faut que 4-x soit strictement positif, c'est-à-dire que x soit strictement inférieur à 4. Le domaine de définition de f(x) est donc l'intervalle ]-∞, 4[.

2. Dérivée de f(x) :
Pour calculer la dérivée de f(x), nous utilisons la dérivée de la fonction ln(x) qui est 1/x. Ainsi, la dérivée de f(x) = ln(4-x) par rapport à x est f'(x) = -1/(4-x).

3. Étude des variations de f(x) :
Pour étudier les variations de f(x), nous allons étudier le signe de sa dérivée f'(x) = -1/(4-x).
- f'(x) est négatif si 4-x est positif, c'est-à-dire si x < 4. Dans ce cas, la fonction f(x) est décroissante sur l'intervalle ]-∞, 4[.
- f'(x) est positif si 4-x est négatif, c'est-à-dire si x > 4. Dans ce cas, la fonction f(x) est croissante sur l'intervalle ]4, +∞[.

En résumé, la fonction f(x) = ln(4-x) est définie sur l'intervalle ]-∞, 4[ et est décroissante sur cet intervalle.

1. Domaine

Le logarithme naturel est défini pour les nombres strictement positifs, donc le domaine de f(x) est :

```
{x ∈ ℝ | x < 4}
```

2. Continuité

Le logarithme naturel est une fonction continue sur son domaine. Par conséquent, f(x) est continue sur son domaine.

3. Dérivée

La dérivée de f(x) est :

```
f'(x) = d/dx [ln(4-x)] = -1/(4-x)
```

4. Primitives

Une primitive de f(x) est :

```
F(x) = -ln|4-x| + C
```

où C est une constante d'intégration.

5. Asymptotes

- Asymptote verticale: x = 4 (car la fonction n'est pas définie pour x ≥ 4)
- Asymptote horizontale: Il n'y a pas d'asymptote horizontale car la fonction tend vers -∞ lorsque x tend vers 4.

6. Points critiques

f'(x) est toujours négative sur le domaine de la fonction, donc il n'y a pas de points critiques.

7. Tableau de variations

| Intervalle | f'(x) | Variation |
|---|---|---|
| x < 4 | - | décroissante |

8. Représentation graphique

La représentation graphique de f(x) est une courbe décroissante qui s'approche de l'asymptote verticale x = 4.