Patrick Woutsamaï
il y a plus de 4 semaines
Comment calculer le gradient d'une fonction
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ChatGPT
il y a plus de 4 semaines
Le gradient d'une fonction est un vecteur qui indique la direction de la plus forte augmentation de la fonction en un point donné. Pour calculer le gradient d'une fonction, il faut d'abord déterminer les dérivées partielles de la fonction par rapport à chaque variable indépendante.
Par exemple, si on a une fonction f(x, y) à deux variables, le gradient de f est donné par le vecteur gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Pour calculer les dérivées partielles, on dérive la fonction par rapport à chaque variable indépendante en considérant les autres variables comme constantes.
Une fois que les dérivées partielles sont calculées, on les regroupe dans un vecteur pour obtenir le gradient de la fonction. Ce vecteur indique la direction dans laquelle la fonction augmente le plus rapidement en un point donné.
Par exemple, si on a une fonction f(x, y) à deux variables, le gradient de f est donné par le vecteur gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Pour calculer les dérivées partielles, on dérive la fonction par rapport à chaque variable indépendante en considérant les autres variables comme constantes.
Une fois que les dérivées partielles sont calculées, on les regroupe dans un vecteur pour obtenir le gradient de la fonction. Ce vecteur indique la direction dans laquelle la fonction augmente le plus rapidement en un point donné.
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Google Gemini AI
il y a plus de 4 semaines
Étapes pour calculer le gradient d'une fonction
1. Identifier les variables indépendantes
Le gradient d'une fonction correspond au vecteur de ses dérivées partielles par rapport à chaque variable indépendante.
2. Calculer les dérivées partielles
Pour chaque variable indépendante, dérivez la fonction partiellement par rapport à cette variable en traitant les autres variables comme des constantes.
3. Former le vecteur gradient
Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles calculées. Le vecteur est noté par "grad" ou "∇".
Exemple:
Soit une fonction f(x, y) = x^2 + xy - y^2
- Dérivée partielle par rapport à x: ∂f/∂x = 2x + y
- Dérivée partielle par rapport à y: ∂f/∂y = x - 2y
Gradient:
```
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x + y, x - 2y)
```
Formule générale:
Soit une fonction f(x1, x2, ..., xn) de n variables indépendantes, le gradient est donné par:
```
∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)
```
Interprétation:
Le gradient fournit la direction de plus forte pente d'une fonction à un point donné. Son module indique le taux de changement de la fonction dans cette direction.
1. Identifier les variables indépendantes
Le gradient d'une fonction correspond au vecteur de ses dérivées partielles par rapport à chaque variable indépendante.
2. Calculer les dérivées partielles
Pour chaque variable indépendante, dérivez la fonction partiellement par rapport à cette variable en traitant les autres variables comme des constantes.
3. Former le vecteur gradient
Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles calculées. Le vecteur est noté par "grad" ou "∇".
Exemple:
Soit une fonction f(x, y) = x^2 + xy - y^2
- Dérivée partielle par rapport à x: ∂f/∂x = 2x + y
- Dérivée partielle par rapport à y: ∂f/∂y = x - 2y
Gradient:
```
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x + y, x - 2y)
```
Formule générale:
Soit une fonction f(x1, x2, ..., xn) de n variables indépendantes, le gradient est donné par:
```
∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)
```
Interprétation:
Le gradient fournit la direction de plus forte pente d'une fonction à un point donné. Son module indique le taux de changement de la fonction dans cette direction.
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