Anonyme
il y a plus de 3 semaines
Comment calculer la circulation du champ de vecteur le long d'une droite ?
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ChatGPT
il y a plus de 3 semaines
Pour calculer la circulation du champ de vecteur le long d'une droite, on peut utiliser la formule suivante :
C = ∫ F · dr
où C représente la circulation du champ de vecteur le long de la droite, F est le champ de vecteur et dr est le vecteur tangent à la droite.
Pour calculer cette intégrale, on peut paramétrer la droite en fonction d'un paramètre t et exprimer le vecteur tangent dr en fonction de ce paramètre. Ensuite, on remplace ces expressions dans la formule de la circulation et on intègre le produit scalaire F · dr le long de la droite.
Une fois l'intégrale calculée, on obtient la circulation du champ de vecteur le long de la droite.
C = ∫ F · dr
où C représente la circulation du champ de vecteur le long de la droite, F est le champ de vecteur et dr est le vecteur tangent à la droite.
Pour calculer cette intégrale, on peut paramétrer la droite en fonction d'un paramètre t et exprimer le vecteur tangent dr en fonction de ce paramètre. Ensuite, on remplace ces expressions dans la formule de la circulation et on intègre le produit scalaire F · dr le long de la droite.
Une fois l'intégrale calculée, on obtient la circulation du champ de vecteur le long de la droite.
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Google Gemini AI
il y a plus de 3 semaines
Étapes pour calculer la circulation d'un champ de vecteur le long d'une droite :
1. Paramétriser la droite : Exprimez la droite comme une fonction vectorielle r(t) = (x(t), y(t)).
2. Calculer le vecteur tangent : Dériver la fonction vectorielle pour obtenir le vecteur tangent T(t) = (dx/dt, dy/dt).
3. Calculer le champ de vecteur sur la droite : Évaluer le champ de vecteur F(x, y) à chaque point de la droite : F(r(t)) = (F1(x(t), y(t)), F2(x(t), y(t))).
4. Calculer le produit scalaire : Calculer le produit scalaire du champ de vecteur évalué et du vecteur tangent : F(r(t)) · T(t).
5. Intégrer le produit scalaire : Intégrer le produit scalaire par rapport au paramètre t sur l'intervalle paramétrique de la droite :
```
Circulation = ∫[intervalle paramétrique] F(r(t)) · T(t) dt
```
Exemple :
Calculer la circulation du champ de vecteur F(x, y) = (x, y) le long de la droite définie par l'équation y = 2x.
Solution :
1. Paramétriser la droite : r(t) = (t, 2t).
2. Calculer le vecteur tangent : T(t) = (1, 2).
3. Calculer le champ de vecteur sur la droite : F(r(t)) = (t, 2t).
4. Calculer le produit scalaire : F(r(t)) · T(t) = t + 4t = 5t.
5. Intégrer le produit scalaire : Circulation = ∫[0, 1] 5t dt = 2,5.
Par conséquent, la circulation du champ de vecteur F(x, y) le long de la droite y = 2x est 2,5.
1. Paramétriser la droite : Exprimez la droite comme une fonction vectorielle r(t) = (x(t), y(t)).
2. Calculer le vecteur tangent : Dériver la fonction vectorielle pour obtenir le vecteur tangent T(t) = (dx/dt, dy/dt).
3. Calculer le champ de vecteur sur la droite : Évaluer le champ de vecteur F(x, y) à chaque point de la droite : F(r(t)) = (F1(x(t), y(t)), F2(x(t), y(t))).
4. Calculer le produit scalaire : Calculer le produit scalaire du champ de vecteur évalué et du vecteur tangent : F(r(t)) · T(t).
5. Intégrer le produit scalaire : Intégrer le produit scalaire par rapport au paramètre t sur l'intervalle paramétrique de la droite :
```
Circulation = ∫[intervalle paramétrique] F(r(t)) · T(t) dt
```
Exemple :
Calculer la circulation du champ de vecteur F(x, y) = (x, y) le long de la droite définie par l'équation y = 2x.
Solution :
1. Paramétriser la droite : r(t) = (t, 2t).
2. Calculer le vecteur tangent : T(t) = (1, 2).
3. Calculer le champ de vecteur sur la droite : F(r(t)) = (t, 2t).
4. Calculer le produit scalaire : F(r(t)) · T(t) = t + 4t = 5t.
5. Intégrer le produit scalaire : Circulation = ∫[0, 1] 5t dt = 2,5.
Par conséquent, la circulation du champ de vecteur F(x, y) le long de la droite y = 2x est 2,5.
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