Déterminer le contrainte de torsion des arbres A et B si tués diamètres sont respectivement 50 et 70 mm

La contrainte de torsion d'un arbre peut être calculée en utilisant la formule suivante :

τ = T * r / J

Où :
- τ est la contrainte de torsion en Pascal (Pa)
- T est le couple de torsion en Newton-mètre (Nm)
- r est le rayon de l'arbre en mètre (m)
- J est le moment d'inertie de l'arbre en mètre cube (m^4)

Le moment d'inertie d'un arbre circulaire peut être calculé en utilisant la formule suivante :

J = π * (r^4) / 2

Pour l'arbre A avec un diamètre de 50 mm (rayon r = 25 mm = 0,025 m) et l'arbre B avec un diamètre de 70 mm (rayon r = 35 mm = 0,035 m), nous pouvons calculer les contraintes de torsion pour chaque arbre en supposant un couple de torsion de 100 Nm.

Pour l'arbre A :
- r = 0,025 m
- J = π * (0,025^4) / 2 = 1,63 x 10^-8 m^4
- τ = 100 * 0,025 / 1,63 x 10^-8 = 1,54 x 10^7 Pa

Pour l'arbre B :
- r = 0,035 m
- J = π * (0,035^4) / 2 = 5,98 x 10^-8 m^4
- τ = 100 * 0,035 / 5,98 x 10^-8 = 1,67 x 10^7 Pa

Ainsi, la contrainte de torsion de l'arbre A est de 1,54 x 10^7 Pa et la contrainte de torsion de l'arbre B est de 1,67 x 10^7 Pa.

Hypothèses

- Le matériau des arbres est le même (acier, par exemple).
- Les arbres sont parfaitement cylindriques.
- La torsion est appliquée à l'une des extrémités des arbres.
- Le couple de torsion est le même pour les deux arbres.

Formules

La contrainte de torsion (en MPa) est donnée par la formule :

```
τ = (Tc) / (J/c)
```

où :

- τ est la contrainte de torsion
- T est le couple de torsion appliqué (en Nm)
- c est le rayon de la section transversale (en m)
- J est le moment polaire d'inertie de la section transversale (en m^4)

Calcul du moment polaire d'inertie

Pour une section transversale circulaire, le moment polaire d'inertie est donné par :

```
J = (πd^4) / 32
```

où :

- d est le diamètre de la section transversale (en m)

Calcul de la contrainte de torsion

Arbre A

- d = 50 mm = 0,05 m
- J = (π - 0,05^4) / 32 = 6,135 × 10^-9 m^4

Arbre B

- d = 70 mm = 0,07 m
- J = (π - 0,07^4) / 32 = 1,477 × 10^-8 m^4

Si le couple de torsion est le même pour les deux arbres, alors la contrainte de torsion sera plus faible dans l'arbre B en raison de son moment polaire d'inertie plus grand.

Détermination de la contrainte de torsion

Sans connaître le couple de torsion appliqué, nous ne pouvons pas déterminer la contrainte de torsion exacte. Cependant, nous pouvons calculer la contrainte de torsion pour un couple de torsion donné :

Par exemple :

Si le couple de torsion appliqué est de 100 Nm, alors les contraintes de torsion seront :

Arbre A

- τ = (100) / (6,135 × 10^-9) = 16,32 MPa

Arbre B

- τ = (100) / (1,477 × 10^-8) = 6,78 MPa