Comment calculer la circulation du champ de vecteur en coordonnées cylindrique

Pour calculer la circulation du champ de vecteur en coordonnées cylindriques, on utilise la formule suivante :

$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} \vec{F} \cdot \vec{T} \cdot r \, dr \, d\theta$$

où $\vec{F}$ est le champ de vecteur, $d\vec{r}$ est le déplacement le long de la courbe $C$, $\vec{T}$ est le vecteur unitaire tangent à la courbe, $r$ est la distance radiale, $dr$ est le différentiel de distance radiale et $d\theta$ est le différentiel d'angle.

Il est important de noter que la courbe $C$ doit être définie en coordonnées cylindriques pour que cette formule soit applicable.

La circulation d'un champ de vecteur F le long d'une courbe fermée C dans le plan cylindrique (r, θ, z) est donnée par :

```
Circulation = ∮F · dr
```

où :

- F est le champ de vecteur donné
- dr est un élément différentiel de longueur de courbe le long de C, donné par :

```
dr = r dθ dz
```

Pour calculer la circulation, il est pratique d'utiliser la forme composante du champ de vecteur F :

```
F = F_r e_r + F_θ e_θ + F_z e_z
```

où e_r, e_θ et e_z sont les vecteurs unitaires dans les directions radiale, angulaire et axiale, respectivement.

La circulation devient alors :

```
Circulation = ∮(F_r dθ r + F_θ dθ + F_z dz)
```

En intégrant le long de la courbe fermée C, on obtient :

```
Circulation = ∮F_θ dθ + ∮F_z dz
```

où la première intégrale est prise autour de la composante circulaire de C et la seconde autour de la composante axiale de C.