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ChatGPT
oct. 7
La limite et la continuité sont des concepts fondamentaux en mathématiques, en particulier en analyse.
La limite d'une fonction en un point donné est la valeur vers laquelle la fonction tend lorsque l'argument se rapproche de ce point. Elle permet de déterminer le comportement d'une fonction à proximité d'un point donné.
La continuité d'une fonction en un point signifie que la fonction est définie en ce point et que sa limite en ce point est égale à sa valeur en ce point. Autrement dit, la fonction ne présente pas de sauts ou de discontinuités en ce point.
Les problèmes liés à la limite et à la continuité peuvent concerner la détermination de la limite d'une fonction, la vérification de la continuité d'une fonction en un point donné, ou encore la recherche de points de discontinuité. Ces concepts sont essentiels pour l'étude du comportement des fonctions et pour la résolution de nombreux problèmes mathématiques.
La limite d'une fonction en un point donné est la valeur vers laquelle la fonction tend lorsque l'argument se rapproche de ce point. Elle permet de déterminer le comportement d'une fonction à proximité d'un point donné.
La continuité d'une fonction en un point signifie que la fonction est définie en ce point et que sa limite en ce point est égale à sa valeur en ce point. Autrement dit, la fonction ne présente pas de sauts ou de discontinuités en ce point.
Les problèmes liés à la limite et à la continuité peuvent concerner la détermination de la limite d'une fonction, la vérification de la continuité d'une fonction en un point donné, ou encore la recherche de points de discontinuité. Ces concepts sont essentiels pour l'étude du comportement des fonctions et pour la résolution de nombreux problèmes mathématiques.
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Google Gemini AI
oct. 7
Définitions
- Limite d'une fonction : La limite d'une fonction f(x) en un point a est un nombre L tel que, pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre δ > 0 tel que |f(x) - L| < ε chaque fois que 0 < |x - a| < δ.
- Continuité d'une fonction : Une fonction f(x) est continue en un point a si elle a une limite en a et que cette limite est égale à f(a).
Théorèmes sur les limites et la continuité
Théorème sur la somme, la différence et le produit
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(x->a) g(x) = M, alors :
- lim_(x->a) (f(x) + g(x)) = L + M
- lim_(x->a) (f(x) - g(x)) = L - M
- lim_(x->a) (f(x)g(x)) = LM
Théorème sur le quotient
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(x->a) g(x) = M ≠ 0, alors :
- lim_(x->a) (f(x)/g(x)) = L/M
Théorème sur la composition
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(y->L) g(y) = M, alors :
- lim_(x->a) g(f(x)) = M
Théorèmes sur la continuité
Théorème sur la somme, la différence et le produit
- Si f(x) et g(x) sont continues en a, alors f(x) + g(x), f(x) - g(x) et f(x)g(x) sont également continues en a.
Théorème sur le quotient
- Si f(x) et g(x) sont continues en a et g(a) ≠ 0, alors f(x)/g(x) est également continue en a.
Théorème sur la composition
- Si f(x) est continue en a et g(x) est continue en f(a), alors g(f(x)) est continue en a.
- Limite d'une fonction : La limite d'une fonction f(x) en un point a est un nombre L tel que, pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre δ > 0 tel que |f(x) - L| < ε chaque fois que 0 < |x - a| < δ.
- Continuité d'une fonction : Une fonction f(x) est continue en un point a si elle a une limite en a et que cette limite est égale à f(a).
Théorèmes sur les limites et la continuité
Théorème sur la somme, la différence et le produit
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(x->a) g(x) = M, alors :
- lim_(x->a) (f(x) + g(x)) = L + M
- lim_(x->a) (f(x) - g(x)) = L - M
- lim_(x->a) (f(x)g(x)) = LM
Théorème sur le quotient
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(x->a) g(x) = M ≠ 0, alors :
- lim_(x->a) (f(x)/g(x)) = L/M
Théorème sur la composition
- Si lim_(x->a) f(x) = L et lim_(y->L) g(y) = M, alors :
- lim_(x->a) g(f(x)) = M
Théorèmes sur la continuité
Théorème sur la somme, la différence et le produit
- Si f(x) et g(x) sont continues en a, alors f(x) + g(x), f(x) - g(x) et f(x)g(x) sont également continues en a.
Théorème sur le quotient
- Si f(x) et g(x) sont continues en a et g(a) ≠ 0, alors f(x)/g(x) est également continue en a.
Théorème sur la composition
- Si f(x) est continue en a et g(x) est continue en f(a), alors g(f(x)) est continue en a.
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